مثير للإعجاب

الفرق بين المجموعات والتباديل

الفرق بين المجموعات والتباديل

خلال الرياضيات والإحصاء ، نحتاج إلى معرفة كيفية العد. هذا صحيح بشكل خاص لبعض مشاكل الاحتمال. لنفترض أننا حصلنا على ما مجموعه ن كائنات متميزة وتريد أن تختار ص منهم. يمس هذا مباشرة مجالًا من الرياضيات يُعرف باسم التوافقية ، وهو دراسة العد. اثنين من الطرق الرئيسية لحساب هذه ص أشياء من ن تسمى العناصر التباديل والتركيبات. ترتبط هذه المفاهيم ارتباطًا وثيقًا ببعضها البعض ويمكن الخلط بينها بسهولة.

ما هو الفرق بين الجمع والتقليب؟ الفكرة الأساسية هي أن النظام. يلتفت التقليب إلى الترتيب الذي نختار به كائناتنا. نفس المجموعة من الكائنات ، ولكن المأخوذة بترتيب مختلف ستعطينا تباينات مختلفة. مع مجموعة ، ما زلنا اختيار ص كائنات من ما مجموعه ن، ولكن النظام لم يعد يعتبر.

مثال على التباديل

للتمييز بين هذه الأفكار ، سننظر في المثال التالي: كم عدد التباديل هناك من حرفين من المجموعة {أ، ب، ج}?

نحن هنا ندرج جميع أزواج العناصر من المجموعة المحددة ، مع الاهتمام بالترتيب. هناك ما مجموعه ستة التباديل. قائمة كل هذه هي: ab ، ba ، bc ، cb ، ac و ca. لاحظ أن التباديل أب و با مختلفة لأنه في حالة واحدة ا تم اختياره أولاً ، وفي الآخر ا اختير الثانية.

مثال على المجموعات

سنقوم الآن بالإجابة على السؤال التالي: كم عدد المجموعات الموجودة من حرفين من المجموعة {أ، ب، ج}?

نظرًا لأننا نتعامل مع المجموعات ، لم نعد نهتم بالترتيب. يمكننا حل هذه المشكلة من خلال النظر في التباديل ثم التخلص من تلك التي تتضمن نفس الحروف. كمجموعات ، أب و با تعتبر نفسها. وبالتالي ، لا يوجد سوى ثلاث مجموعات: ab و ac و bc.

الصيغ

بالنسبة إلى المواقف التي نواجهها مع مجموعات أكبر ، يستهلك الأمر وقتًا طويلاً لإدراج كل التباديل أو التوليفات المحتملة وحساب النتيجة النهائية. لحسن الحظ ، هناك الصيغ التي تعطينا عدد التباديل أو مجموعات من ن الأشياء التي اتخذت ص في الوقت.

في هذه الصيغ ، نستخدم الترميز المختصر لـ ن! مسمي ن مضروب. يقول العامل المضربي ببساطة أن كل الأعداد الموجبة الموجبة أقل من أو تساوي ن سويا. لذلك ، على سبيل المثال ، 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. بحكم التعريف 0! = 1.

عدد التباديل من ن الأشياء التي اتخذت ص في وقت ما تعطى بواسطة الصيغة:

P(ن,ص) = ن!/(ن - ص)!

عدد مجموعات من ن الأشياء التي اتخذت ص في وقت ما تعطى بواسطة الصيغة:

C(ن,ص) = ن!/ص!(ن - ص)!

الصيغ في العمل

لرؤية الصيغ في العمل ، دعونا نلقي نظرة على المثال الأولي. يتم إعطاء عدد التباديل لمجموعة من ثلاثة كائنات تؤخذ اثنين في وقت بواسطة P(3،2) = 3! / (3 - 2)! = 6/1 = 6. يطابق هذا بالضبط ما حصلنا عليه من خلال سرد جميع التباديل.

يتم إعطاء عدد مجموعات من مجموعة من ثلاثة كائنات تؤخذ اثنين في وقت واحد بواسطة:

C(3،2) = 3! / 2! (3-2)! = 6/2 = 3. مرة أخرى ، هذا يصطف بالضبط مع ما رأيناه من قبل.

توفر الصيغ بالتأكيد وقتًا عندما يُطلب منا العثور على عدد التباديل لمجموعة أكبر. على سبيل المثال ، كم عدد التباديل الموجودة في مجموعة من عشرة أشياء يتم أخذها ثلاثة في وقت واحد؟ سوف يستغرق الأمر بعض الوقت لسرد جميع التباديل ، ولكن مع الصيغ ، نرى أنه سيكون هناك:

P(10،3) = 10! / (10-3)! = 10! / 7! = 10 × 9 × 8 = 720 التباديل.

الفكرة الرئيسية

ما هو الفرق بين التباديل والتركيبات؟ خلاصة القول هي أنه في حالات المواقف التي تنطوي على أمر ، ينبغي استخدام التباديل. إذا كان الترتيب غير مهم ، فيجب استخدام المجموعات.